Estoy intentando restaurar una vieja criba. En su momento fue una criba circular pero, con el paso del se fue deformando hasta el punto de que uno de los lados actualmente está prácticamente plano. Actualmente solo la mitad de la criba tiene forma circular. La cuestión que surge es, además de hacer una medida aproximada ¿Puedo saber el radio de la criba con lo que me queda de la criba?
- Lo puedo hacer mediante el siguiente método gráfico.
- Sobre el segmento que todavía mantiene forma circular colocamos tres puntos, mas o menos al azar. A,B y D
- Medimos las distancias AB (lado A), BD (lado B) y AD (lado D), en donde el lado D es la base del triangulo.
- A escala, sobre papel, llevamos la distancia AD en el eje X.
- Con un compás, a escala, desde el punto A llevamos la distancia AB y desde D llevamos la distancia BD. La intersección de ambos círculos nos da el vértice superior del triangulo.
- Trazamos la perpendicular en el punto medio de los lados A y B. Desde los extremos de cada lado dibujamos un circulo con radio superior a la mitad del lado. La recta que une las intersecciones de los círculos nos da la perpendicular en el punto medio.
- La intersección de las dos perpendiculares nos da el centro del circulo del que estamos buscando el centro.
- El radio, R, es la distancia, a escala, entre el centro y cualquiera de los puntos A,B o D.
Todo esto tiene su reflejo matemático. En principio hay que conocer las pendientes de los lados A y B sobre el lado D, al que colocamos en el eje X.
Para conocer las pendientes tenemos que conocer tanto la altura del triangulo como los lados C1 y C2. En otras ocasiones similares he utilizado el teorema del coseno para calcular tanto el ángulo como un lado desconocido. Esta vez lo vamos a hacer por Pitágoras.
- Las pendientes de los lados son, por tanto, H/C1 y -H/C2.
- Dos líneas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y cambiadas de signo.
- Por tanto las pendientes de sus perpendiculares son -C1/H y C2/H.
- Conocemos ya las pendientes, solo nos queda conocer un punto por el que pasa la recta, el punto medio de cada lado.
- Los puntos medios son C1/2, H/2 y C2/2,H2/2
- La intersección de ambas líneas nos da el centro del círculo.
- Una recta, la ecuación de una recta, es y=m*x +c, donde m es la pendiente y c en una constante propia de la recta. De cada perpendicular conocemos la pendiente y un punto por el que pasa. Sustituimos valores, despejamos y calculamos la constante.
- Conocidas las ecuaciones de las perpendiculares igualamos las y , en el centro, punto de intersección de ambas líneas, tanto el valor de x como el de y son iguales. Igualamos las "y" y despejamos las "x".
- Calculamos, conocida la "x", la "y"
En excel utilizo o calculo esos términos con mediante variables con nombre:
- Altura=RAIZ(LadoA^2-LadoC1^2)
- CLin1=YMitadA-PPLadoA*XMitadA. Constante línea A
- Clin2=YMitadA-PPLadoB*XMitadB
- LadoA=Datos!$A$3
- LadoB=Datos!$B$3
- LadoC1=(LadoA^2+LadoD^2-LadoB^2)/(2*LadoD)
- LadoC2=LadoD-LadoC1
- LadoD=Datos!$C$3
- PLadoA=Altura/LadoC1. Pendiente del lado A.
- PLadoB=-Altura/LadoC2. Pendiente lado B.
- PPLadoA=-LadoC1/Altura
- PPLadoB=LadoC2/Altura
- Radio=RAIZ(XCentro^2+YCentro^2)
- XCentro=(CLin1-CLin2)/(PPLadoB-PPLadoA)
- XMitadA=LadoC1/2
- XMitadB=LadoC1+LadoC2/2
- YCentro=PPLadoA*XCentro+CLin1
- YMitadA=Altura/2
