Empezamos con una conjetura:
Toda función, por compleja que sea, continua, creciente o decreciente, para un intervalo lo suficientemente pequeño, se comporta como una recta. Y, si el resultado obtenido no le vale a un matemático, a un ingeniero si.
¿Como llegamos a ese intervalo lo suficientemente pequeño?
A base de miles de operaciones. La conjetura solo se puede utilizar a base de miles de operaciones matemáticas. Por lo tanto o bien se realiza programando o bien se utiliza una hoja de cálculo que nos permita hacer esas miles de operaciones en poco tiempo.
Nota importante: Excel no procesa bien valores excesivamente pequeños, parece que no soporta mas de quince decimales, da un error, ni suma ni divide bien, por lo que en para algunas funciones no podemos asegurar la exactitud de los cálculos. En algunos casos, con Excel, llegaremos a encontrar el resultado exacto, en los otros nos aproximaremos bastante. Por lo demás, el resultado es bastante aproximado al que debería ser, si a un matemático no le vale el resultado, a un ingeniero si.
Pinchando sobre el icono de Excel se pueden bajar un zip con dos libros, el primero FuncionLinealII, es el libro sobre el que he desarrollado esta idea, los comentarios son sobre el, en este libro utilizo una función conocida, fácil de resolver. El segundo libro, FExponencial, trata una función mas compleja, de hecho es una especie de alarde matemático que encontré (o me encontró ella) en youtube. Mientras que la primera se resuelve en tres pasos, la segunda necesitaría mas de seis, pero, también tendríamos que poder utilizar con precisión mas de 15 decimales, lo que parece que ni Excel ni sus compatibles OpenOffice y LibreOffice hacen. Esta falta de precisión se puede observar el la hoja funcion6.
Algoritmo (o como se hace):
- Encontramos un primer intervalo que incluya el valor buscado. En principio, este primer intervalo, sería de menos infinito a mas infinito pero, no solo se puede, se debe abreviar.
- Estudiamos para cada función como establecer el primer intervalo.
- Debemos encontrar unos valores, para este primer intervalo, que nos permitan trabajar en un margen mas pequeño.
- Calculamos, para cada función, unos mil puntos.
- La cantidad de mil puntos es opcional, mil es un número redondo. Puede que necesitemos mas puntos o, incluso menos.
- Buscamos dos puntos entre los que se encuentre el valor buscado.
- Esos dos puntos nos dan un segundo intervalo, mucho menor que el primero.
- Seguimos considerando que mil puntos son los adecuados, por el mismo motivo, mil es un número redondo.
- Calculamos, para este segundo intervalo, el valor de esos mil puntos.
- En este segundo intervalo buscamos dos puntos entre los que se encuentre el valor buscado.
- Repetimos lo anterior para este tercer intervalo. Cálculo de mil puntos y búsqueda del valor buscado.
- Así cuantas veces consideremos necesario.
- Para un valor buscado grande (aunque en la practica empecemos desde uno), la X será grande, la función la podemos aproximar a X².
- Si utilizamos un X=raiz(valor buscado), positivo, la función nos va a dar siempre un valor por encima del valor buscado.
- Para X negativo necesitamos añadir a X un valor que nos compense del 2X (como X es negativa, -2X) de modo que la función nos de un valor de Y superior al valor buscado.
- En este caso, basta con añadir a X la raiz(raiz(VB)). Hoja ValorBuscado-Aux B3.
- Para valores buscados menores de uno, el intervalo es mas complejo de calcular, por lo que lo dejamos que el intervalo vaya de -2 a +1 (como si buscásemos el valor 1)
- Estos limites del intervalo nos dan una gráfica asimétrica pero, de momento, es poco importante esta asimetría.
- Ya tenemos, para casi cualquier valor que pueda tomar la función, los límites del primer intervalo.
- De momento, este libro Excel, no calcula ni los valores próximos al mínimo de la función ni puntos de inflexión.
- Los siguientes intervalos nos dan los dos puntos entre los que se encuentra el valor buscado.
- En el libro Excel, cada uno de los distintos pasos ocupa una hoja distinta. Así mismo cada paso cuenta con su gráfica correspondiente.
- Como ya he dicho, de momento, el libro solo funciona con tramos continuos, ascendentes o descendentes.
- ¿Como conocer los puntos entre los que se encuentra nuestro intervalo?
- Para un tramo descendente el primer punto es mayor o igual al valor buscado. El segundo punto es menor o igual al valor buscado. y(f2>=VB;f3<=VB), aunque quizás sería mejor utilizar y(f2>=VB;f3<VB ). Con la primera fórmula se puede, si el valor de la celda en VB, encontrar dos celdas que cumplen los requisitos.
- Para un tramo ascendente el primer punto es menor o igual al valor buscado. El segundo punto es mayor o igual al valor buscado. y(f2<=VB;f3>=VB) o y(f2<=VB;f3>VB)
- Ver columna K de la hoja Funcion.
- Conocidos dos puntos, podemos calcular la recta que los une. Una recta es Y=mX+c (Hoja Función, celdas O2 y P2)
- Conocida la recta, podemos encontrar el valor de X que nos da el valor buscado.
- Con ese valor de X calculamos el valor que toma Y en la función. Como es lógico, en los primeros pasos hay una pequeña diferencia entre el valor en la recta y el valor de la función.
- Con las pruebas realizadas, para esta función, bastan tres pasos para resolver o encontrar la X que da un determinado valor buscado (valor de Y).
- Es la hoja inicial, en la que ponemos a mano o calculamos el primer intervalo y nos da el resultado final.
- En esta hoja, en A2, escribimos el valor buscado.
- En H2 e I2 obtenemos el valor de X y comprobamos que el Y de la función se corresponde con el valor buscado.
- B2:C3 nos dan los valores del primer intervalo para X, así como los posibles valores de Y.
- Este primer intervalo puede ser el resultado de un estudio personalizado de cada función o puede ser unos datos incluidos "a mano"
- El libro tiene tres hojas llamadas función,Función2 y Función3. Estas tres hojas tienen la misma estructura, salvo la hoja función que usa, pero mantiene oculta la columna, "G".
- La columna "E" tiene los mil valores X que vamos a dar a X.
- Primero calculamos el incremento de X entre cada dos puntos. Este valor de X se calcula dividiendo por mil la diferencia entre el valor mayor del intervalo y el menor valor del intervalo. (rango D2)
- Empezando por el mínimo valor del intervalo vamos incrementado el valor de X.
- El valor de Y lo calculamos escribiendo la función para cada celda de la columna "F". En este caso =E2^2+2*E2+1
- En la columna "G" (K para la hoja función) encontramos dos puntos entre los que se encuentra el valor buscado. =SI(O(Y(F2>=VB;F3<=VB);Y(F2<=VB;F3>=VB));1;0)
- En H2 encontramos la primera línea que cumple la condición.
- M2,M3,N2 y N3 nos dan los valores X,Y de ambos puntos.
- En O2 y P2 encontramos la pendiente de la recta (m) y la constante c de la recta y=mx+c
- En las columnas Q y R vemos el valor que tendría X para el valor de Y buscado y el valor que toma la función para ese valor de X.
- Q2 de Funcion3 es, en este caso, la respuesta. Es el valor de X que nos da el valor buscado.
- Las columnas A,B,C contienen, básicamente, los límites del intervalo. En "funcion" esos límites vienen del valor encontrado en la hoja "ValorBuscado-Aux". En funcion2 y funcion3 son los valores de los puntos, encontrados en la hoja anterior, entre los que se encuentra el valor buscado.
- Cada paso cuenta con su correspondiente gráfica, GFuncion,GFuncion2 y GFuncion3.
- En este libro el primer intervalo no se calcula, se pone a mano, como decían en el cole, "a ojo de buen cubero".
- Está función necesita mas de tres pasos para ser resuelta, hay que añadir, al menos, una hoja "funcion" por cada paso. Yo he llegado hasta el sexto paso, con sus correspondientes gráficas.
- Vease la hoja funcion6, en donde nos encontramos con lo antes mencionado sobre excel y los decimales.
