La última vez, que yo recuerde, que hice una derivada o una integral fue el siglo pasado, terminé mis estudios y no volví a tocar este tema. Hace muchos, muchos, muchos años de eso.
Hace unos días recibí en un grupo de WhatsApp una bromilla con una integral definida. Ni que decir tiene que en estos momentos mi capacidad de resolver esa integral es nula (me da la impresión que ni en mi mejor época hubiera sido fácil, para mi, resolver la integral).
A falta de conocimientos podría haber acudido a internet en busca de una solución. Hay muchos sitios en internet que resuelven, al menos eso dicen, cualquier integral, pero no, a mi me vino a la memoria que una integral definida es el área que ocupa una función y=f(x), con el eje X, entre dos valores definidos.
Vídeo encontrado en youtube, sobre integrales definidas. No soy yo.
Este área se puede aproximar a un sumatorio de áreas rectangulares (ΣY*DX), en donde ΔX, incremento de X, es un valor todo lo pequeño que sea posible. Este sumatorio es una suma de cientos de sumandos, mejor de miles, que hasta la aparición de las hojas de cálculo, era, si no imposible de hacer sin programación, muy complicado. Un trabajo idóneo para Excel, una suma de miles de operaciones.
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| Fichero Zip con los Excel |
Empiezo buscando un ejemplo mas sencillo que la función propuesta, en este caso empiezo por y=x, con un ΔX=1, rectángulos realmente grandes, pero que para y=x se puede obtener un valor exacto de la integral, solo hay que tratar correctamente los errores por mas y por menos que nos da el área de los rectángulos.
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| Area de la función Y=X aproximada a una suma de rectángulos. En verde de mas a menos. En marón de menos a mas. |
Funciones con nombre del libro excel (Fórmulas->Administrador de Nombres):
- DX= Datos!A2
- LimInf=Datos!$A$6
- LimSup=Datos!$A$8
- ValBus=Datos!$A$4
- ValX=Datos!$B:$B
- ValXR=DESREF(Datos!$B$1;Datos!G5-1;0;50;1)
- ValYR=DESREF(Datos!IO65536;0;0;Datos!H5-Datos!G5;1)
Dibujamos la función recibida por WhatsApp:
- Primero calculamos los distintos valores X. Los colocamos, libro MaximosYMinimosI..., en la hoja datos, columna B:B.
- Preparamos los valores de X para que cubran un poco por debajo del limite inferior de la integral y poco por encima del límite superior de la integral. Como dicen en las recetas de cocina "al gusto".
- Lo podemos hacer, tomando como referencia el eje X, de izquierda a derecha (X0+ΔX), de menos a mas o de derecha a izquierda, de mas a menos (X0-ΔX).
- En Excel calculamos los distintos valores de X, con ΔX >0, B3=B2+ΔX para incrementar la X, que es el que utilizo realmente, o de mas a menos B3=b2-ΔX, que lo contemplo como otra posibilidad.
- En B2 va uno de los valores de los limites de la representación gráfica de la función.
- Con los valores de X calculamos los valores de Y. En este caso, hoja "Datos", calculo numerador y denominador por separado. No es necesario hacer esta separación, sencillamente simplifica algo el paso a excel de la función.
- Estudiamos, por encima, la función. Tampoco es del todo necesario, nos permite prever que tipo de errors nos puede dar la función.
- La función recibida por WhatsApp, a simple vista, no es continua, tiene unos puntos de indeterminación.
- Tiene valores de X que dan error. El denominador tiene un valor que vale cero y un intervalo que es la raíz cuadrada de un número negativo.
- Para X=1 o X=2 la función da un error, el divisor vale 0 √(X2-3X+2) o es la raíz de un número negativo.
- Para X >1 y X<2 da negativo, raíz cuadrada de un número negativo.
- Este tipo de discontinuidades las podemos controlar fácilmente en Excel con las funciones EsErr() y Si() (=SI(ESERR(C2/D2);0;C2/D2)). Damos el valor que deseemos, en este caso 0, que no incrementa el área en el caso de que la discontinuidad se de entre los límites de la integral.
- Una vez definido ΔX ¿Cuantas áreas debo considerar? ¿Cuantas mas, mejor? Puede que no, excel comete errores con números excesivamente pequeños.
- De menos a mas empiezo en el valor mínimo y termino en el valor máximo menos ΔX.
Llevamos los valores de X e Y a una gráfica tipo XY (Dispersión). Ya podemos ver la función, tenemos una gráfica y una relación de valores de X e Y que nos permite, entre otras cosas, encontrar máximos y mínimos relativos (esos que se encuentran derivando) y encontrar los valores de X que me dan un determinado valor de Y.
Máximos y mínimos relativos:
- Un mínimo relativo se produce cuando su valor es menor o igual a los valores de los puntos anterior y posterior. (Hoja Datos,columna I, =SI(Y(E3<=E2;E3<=E4);1;0))
- Un máximo relativo se produce cuando su valor es mayor o igual a los valores de los puntos anterior y posterior.(Hoja Datos, Columna J,=SI(Y(E4>=E3;E4>=E5);1;0)
- En la columna N (N1 a N6) de la hoja datos encontramos el primer mínimo.
- En la columna O (O1 a O6) de la hoja datos encontramos el primer máximo.
- Llevamos estos valores a la gráfica apoyándonos en la hoja "Aux".
Búsqueda del valor de X que da un determinado valor de Y:
- Buscamos en los valores de la función los puntos anterior y posterior cuyas Y o coinciden o limitan con el valor buscado de Y.
- Este tema, búsquedas sucesivas hasta encontrar un valor ya lo trate anteriormente AQUÍ
- Basicamente, mi búsqueda por aproximaciones sucesivas ,consiste en, para tramos crecientes de una función, empezar con un par de valores de X conocidos, X1 y X2, que hacen que una de las Y sea menor que el valor buscado y que la otra sea superior.
- Tomamos el valor medio de X1 y X2, Xm, y lo llevamos a la función. Si el valor obtenido de Y es igual o mayor al valor buscado entonces X2=Xm. Si no X1=Xm
- Repetimos la operación, encontrar la media de X1y X2, llevarla a la función, encontrar la Y correspondiente y volver a comparar, las n veces que sean precisas, hasta encontrar el valor de X que nos da el valor de y buscado.
- Para tramos decreciente intercambiaríamos X1 y X2.
- En este caso la búsqueda la vamos a hacer en dos pasos, primero encontramos un par de puntos entre cuyos valores está el valor buscado.
- A continuación, en la hoja BuscaX, buscamos sucesivamente el valor de X que nos da un determinado Y.
Integral definida:
- Como han explicado en el vídeo de youtube, las áreas de los distintos segmentos de la función, de los rectángulos, ΔX*Y, salen con signo.
- No nos es necesario saber este signo, para calcular el área total debemos sumar el valor absoluto de las áreas calculadas.
- Hay un pequeño error al calcular el área total, depende de ΔX, de la forma de la función y si vamos de mas a menos o de menos a mas.
- En principio he visto que si el valor absoluto anterior de Y es superior al valor tratado de Y, el error incrementa la suma y si es inferior decrementa la suma. (ver libro ErrorCometido.xls o la gráfica1)
- Cuanto mas pequeño es ΔX, mas pequeño es el error cometido ,pero es mas probable que Excel no calcule todo lo exacto que deseemos. Excel también comete errores. (Vease la columna de las X, con trece decimales o mas)
- Para ΔX no demasiado pequeños, calculando en ambos sentidos, de menos a mas y de mas a menos y promediando ambos valores se supone que los errores se compensan.
- El error cometido puede llegar a compensarse por si solo, dependiendo de la forma de la función.
- Por lo que parece, el error cometido yendo de menos a mas es idéntico, pero de signo contrario al cometido yendo de mas a menos.
- Si ΔX es lo suficientemente pequeño el error cometido puede ser considerado despreciable.
- En el libro "MaximosyMinimosIntegralDefinida.xls" he separado los distintos cálculos, incluido el tratamiento de errores.
- En la columna H están los valores absolutos de Y*ΔX. Hay que sumar desde x=límite inferior de la integral hasta x=límite superior -ΔX.
- Obtenemos un valor casi idéntico, muy aproximado, al valor obtenido al integrar.
En el libro MaximosYMinimosInt.... no he quitado ni el estudio de otras funciones ni la programación vbasic que calcula el valor de diversas funciones (alguna de ellas, como la función seno sin terminar).
En el libro ErrorCometido también mantengo la programación vbasic.
