Un cuerpo de revolución es aquel que se origina al girar una figura plana alrededor de un eje.
Tenemos que aprovechar la posibilidad que nos da Excel de realizar decenas de miles de operaciones matemáticas en un instante. Podemos hacer cálculos bastante complejos dividiendo la operación en miles de operaciones sencillas. En este caso, vamos a dividir la figura de revolución en miles de segmentos, miles de "cachitos" con una forma elemental, fáciles de manejar.
¿Esta manera de operar es válida? Partimos de una figura conocida y fácil de operar con ella, vamos a calcular el volumen de media esfera, que es el resultado de girar un cuarto de circulo alrededor de un eje.
Dividimos esa media esfera en pequeños discos. Cada disco va a tener su propio volumen, su propio radio, pero todos los discos van a tener la misma altura. Calculamos independientemente de los otros el volumen de cada uno de los discos para, posteriormente, sumarlos.
El volumen de media esfera es fácilmente calculable mediante la matemática clásica, lo que nos va a permitir hacer una comparación y una valoración de los resultados obtenidos por las dos maneras.
- Primero decidimos cuantos discos vamos a utilizar, con cuantos discos queremos operar. Aunque en la hoja Excel se puede modificar, vamos a utilizar 40000 "discos".
- Dividimos la altura de la figura entre ese número de puntos. En este caso es el resultado de dividir el radio de la esfera, altura de la figura, por el número de discos que vamos a utilizar.
- Vamos a calcular el radio de cada disco en el punto medio de su altura, teniendo en cuenta que cada disco está apilado sobre los discos anteriores. Esto quiere decir que la mitad del disco estará por debajo del valor que le correspondería al circulo y la la otra mitad estará por encima.
- Esta vez los cuadrados de un determinado valor los calculo multiplicando ese valor por si mismo, en vez de elevar al cuadrado. x*x en vez de x^2.
- Excel no digiere bien ciertas operaciones con muchos decimales. Una operación sencilla, como puede ser la suma de un pequeño incremento a un valor anterior, acaba dando un resultado ni deseado ni esperado, como puede verse en Columna A de EsferaY, sobre todo en las últimas líneas.
- Conocido el radio y la altura de un disco es fácil calcular su volumen. Superficie de su circunferencia por su altura.
- En algunos casos limito el número de decimales del resultado de la operación.
- π (pi) tiene un número infinito de decimales. Vamos a utilizar un valor de π con 9 decimales. Tanto esta limitación como la del volumen de los discos, aparentemente, mejora los resultados. Reducimos el número de decimales.
- Conocido y, por Pitágoras, calculamos x.
- Conocido x, radio del disco, su volumen sería π*r^2*dy.
- Sumamos, calculamos por matemáticas clásicas el volumen y comparamos.
- El resultado es bastante bueno.
- Dif , =EsferaY!$L$5. Diferencia entre ambos métodos de cálculo.
- IncX, =EsferaX!$E$1. Incremento de x, no se utiliza.
- IncY, =EsferaY!$F$1. Incremento de y, radio divido por el número de discos a utilizar.
- MiPi, =EsferaY!$C$2,. Pi con los decimales limitados a 9.
- NDec,=EsferaY!$A$2. Número de decimales.
- NPunt, =EsferaY!$C$3, Número de puntos (discos)
- Punto, =EsferaY!$F$1. Altura discos.
- Radio, =EsferaY!$J$1-EsferaY!$H$1. Radio de la esfera, donde $j$1 en principio es cero.
- Radio2, =Radio*Radio. Radio al cuadrado.
- Min Y, en H1. Mejor a cero. Es el valor mínimo de y si no queremos centrar el cuarto de circulo en 0,0.
- Max Y, en J1. MaxY-MinY=Radio de la esfera.
- Decimales de Pi, en C1.
- MiPi en C2. MiPi se calcula en esa celda.
- N.Puntos, en c3. Número de discos a utilizar.
- Columna A: Altura acumulada de los discos, de la forma "Valor anterior+dy". Se puede apreciar un error. Podemos prescindir de esta columna.
- Columna B: Números naturales de 0 a 40000.
- Columna C: Valor de Bx multiplicado por IncY.
- Columna D: Repetición de la columna A.
- Columna E: Punto mitad de la altura del disco.
- Columnas F y G: Radio de cada disco para un y igual al de la columna E.
- Columna H: Volumen de cada disco.
