Área de un cuadrado irregular

Libro excel

El otro día nos surgió la necesidad de conocer el área de una parcela, una antigua era de un pueblo castellano. En una de las entradas anteriores de este blog explico como se puede medir una superficie situando dos focos y midiendo desde esos focos a los vértices. El método utilizado para medir la era es una versión reducida del anterior, solo hay que hacer cinco medidas, pero solo vale para cuadriláteros cuyas diagonales sean interiores (mas o menos con la forma del cuadrilátero inferior). Para cuadriláteros con diagonales externas el método vale pero el área de los dos triángulos formados se resta en vez de sumarse. Es como en mi entrada anterior dedicada a este tema es un método gráfico reconvertido a excel. Desde los extremos de la diagonal trazamos con un compás  las circunferencias de radio L2 y L3. La intersección de las circunferencias nos da el vértice superior. Si repetimos la operación para L1 y L4 obtenemos el vértice inferior.

 La diagonal está en este caso es el eje X, según el dibujo.
 Con un dibujo similar a este, dibujado a mano alzada, medimos, y anotamos los valores medidos, los cuatro lados y la diagonal. Llevamos los valores medidos a la hoja "Area". 
Con esta posición se ve claramente que el cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos de los que conocemos, o para ser exactos, podemos conocer todos los parámetros que nos dan su área. El área del triangulo superior es D*H1/2. El área del triangulo inferior es D*H2/2 (valor absoluto de H2, sin signo).El área del cuadrilátero es la suma del área de los dos triángulos, D*(H1+H2)/2. La cuestión ahora es cuanto valen, o como calculamos, H1 y H2. 

Los valores H1 y H2 se pueden calcular aplicando el teorema del coseno o, como en este caso, utilizando la formula de la circunferencias con radio l2 y l3 (o l4 y l1). 

• X^2+Y^2=L_2^2 =>Y^2=L_2^2-X^2
• (X-D)^2+Y^2=L_3^2 =>Y^2=L_3^2-(X-D)^2
• Como las Y son iguales: L_2^2-X^2=L_3^2-(X-D)^2
• Despejando X_1=(D^2+L_2^2-L_3^2)/(2*D)
• De manera similar: X_2=(D^2+L_1^2-L_4^2)/(2*D)
• Llevando X_1 a la fórmula inicial calculamos Y, que es igual a H_1. Por tanto H_1=RAIZ((L_2^2-X_1^2))
• De manera similar, H_2=-RAIZ(L_1^2-x_2^2), incluyendo el signo.

Todo esto es, desde el punto de vista de las matemáticas,  o relativamente sencillo o relativamente complejo, según la soltura matemática de cada cual, pero hacerlo "a mano" siempre es un poco lioso, lo ideal es utilizar una hoja de cálculo, en este caso Excel.

• Además de calcular las dimensiones, el área, de la parcela, roto y traslado la gráfica con el fin de que cada cual la pueda ver desde el punto de vista que prefiera.
• La rotación consiste en dejar uno de los lados sobre el eje X.
• Una vez conocidas las coordenadas de los vértices calcular el ángulo que forma un lado con el eje x es tan sencillo como dividir el incremento de y por el incremento de x entre los vértices de un lado. Esto nos da la tangente y con ATAN calculamos el ángulo en radianes (=ATAN(($F3-$F2)/($D3-$D2))
• El nuevo valor de x, conocido el giro, es =D2*COS(Alfa)+F2*SENO(Alfa)
• El de y es : =F2*COS(Alfa)-D2*SENO(Alfa)
• Donde Alfa es el ángulo seleccionado por el desplegable.
• Por último calculo los cuatro ángulos formados por los cuatro lados. Para el cálculo de los ángulos utilizo el teorema del coseno.

Utilizo los siguientes variables y rangos con nombre:

Alfa=Era!$G$8

Alfas=Era!$G$2:$G$6

Ang=Aux!$B$1:$B$5

D=Era!$B$1

Eje=Era!$G$7

H_1=RAIZ((L_2^2-X_1^2))

H_2=-RAIZ(L_1^2-x_2^2)

L_1=Era!$B$2

L_2=Era!$B$3

L_3=Era!$B$4

L_4=Era!$B$5

MaxX=MAX(Era!$D$2:$D$6)

MaxY=MAX(Era!$F$2:$F$6)

X_1=(D^2+L_2^2-L_3^2)/(2*D)

X_2=(D^2+L_1^2-L_4^2)/(2*D)

El libro excel no está protegido ni explicado, si alguien quiere utilizarlo solamente, los datos, diagonal y lados , se escriben en la hoja "Area"  y directamente presenta el  resultado en esa misma hoja. La forma, aproximada, de la parcela está en el gráfico Plano(2). Esta hoja presenta un desplegable que permite seleccionar el eje que va sobre el eje x.