Cálculo infinitesimal con Excel II. Centro de gravedad de un cuarto de círculo. Preliminar

 Capitulo anterior

En el capitulo anterior estudio como calcular el centro de gravedad de un triángulo, que es una figura sencilla. En este capitulo vamos a encontrar con Excel el centro de gravedad (o centroide) de un cuarto de círculo.

• Dividimos, como en el caso anterior, en N segmentos la figura, dividimos por el número de segmentos que deseemos calcular el valor del radio de la circunferencia. Llevamos estos valores al eje X.
• Calculamos los correspondientes valores de Y. 
• Tenemos, como ya comenté en el capitulo anterior, N barras verticales coronadas por un resto con forma de triángulo. En este caso la figura real que corona el segmento no es triangular, hay, además, un segmento circular, pero, se puede aproximar a un triángulo. Cometemos un pequeño error , pero, el resultado, creo, que se puede considerar que sigue siendo válido.
• Cuanto mayor sea el número de segmentos, menor sera este error.
• Cada barra vertical, cada segmento en el que dividimos la figura, tiene su propio centro de gravedad. Lo mismo para los restos triangulares. Cada uno tiene su propio centro.
• Cada uno de esos segmentos, cada uno de los restos. "pesa" sobre un punto determinado, tanto sobre el eje X como sobre el eje Y. 
• Sumatorio de fuerzas por distancia igual fuerza total por distancia al centro de gravedad.
• La fuerza, el "peso" de cada segmento y de la figura total es el área de cada segmento por una constante K (gr. por centímetro cubico, gravedad, altura). Como esa constante K está a ambos lados de la ecuación, despejando, fuerzas por distancia queda como fuerza  por área.

Libro Excel: Está preparado para calcular hasta 50000 puntos, que se pueden ampliar. Como ya he comentado se produce un pequeño error.

¿Estoy trabajando correctamente? ¿La idea es buena? ¿Puedo comparar resultados con los obtenidos con otro tipo cálculo?

En este caso, si. Como es lógico, no es necesario armar este follón para hacer un cálculo mucho mas fácil si se hace de otra manera, pero necesito demostrarme a mi mismo que esta manera de trabajar es correcta. Solo lo puedo hacer comparando resultados, un resultado que se que es correcto, con el resultado obtenido con el supuesto que estoy siguiendo.

¿Como puedo calcular con una matemática mas clásica este centroide ?  Me baso en:

"El volumen de un área de revolución es el área de la figura multiplicado por el camino que recorre su centro"

• En este caso el área es la de un cuarto de círculo y el volumen que se genera al girar la figura alrededor de su centro, es el de media esfera. Hoja CCirculo, columnas de la D a la G.
• En este caso estamos trabajando con una figura simétrica, los valores de X e Y del centro  son idénticos.

El centro de gravedad de un triángulo rectángulo esta situado a 2/3 del vértice.

Los valores obtenidos se pueden considerar aceptables.

Mis propia función Excel:

Esta vez incorporo una función VBasic,CCCir(Radio;Num;tipo respuesta) para Excel (utilizada en hoja Aux, de F1 a F4), mi propia función Excel, que me permite hacer estos cálculos con una mayor aproximación, con un error mucho menor. 

Function CCCir(R, N, Op)

Dim Incr As Double, Y0, Y1, Resto As Double, Area As Double, X2 As Double

Incr = R / N

For i = 1 To N - 1

X2 = (i * Incr) * i * Incr

Y1 = Sqr(R * R - X2)

Area = Area + Y1 * Incr

DY = Y0 - Y1

FDx = FDx + (i - 0.5) * Y1 * (Incr ^ 2) + (i - 2 / 3) * (Incr ^ 2) * DY / 2

FDy = FDy + (Y1 ^ 2) * Incr / 2 + (DY * (1 / 3) + Y1) * Incr * DY / 2

Area = Area + Incr * DY / 2

Y0 = Y1

Next

CCCir = Area & " " & FDx / Area & " " & FDy / Area

If Op = 1 Then CCCir = Area

If Op = 2 Then CCCir = FDx / Area

If Op = 3 Then CCCir = FDy / Area

'If Op = 0 Then CCCir = Area & Chr(10) & Pi * (Radio ^ 2) / 4 & FDx / Area & Chr(10) & FDy / Area & Chr(10) & ccc

End Function